Dimension fractale et spectre

École Polytechnique de Montréal, Département de mathématiques appliquées, Case postale 6079 — Succursale « A », Montréal (Québec) Canada, H3C 3A7, Canada.

Résumé

En microtechniques il est nécessaire de définir des paramètres pouvant mesurer le degré de complexité d'une surface rugueuse. Les méthodes statistiques sont trop lourdes à manipuler, et la décomposition du spectre ne fournit aucun résultat précis. En nous fondant sur des modèles mathématiques de telles surfaces (Weierstrass, bruit Brownien), nous faisons ressortir l'intérêt et la simplicité d'un paramètre particulier qui est la dimension fractale de la surface. Les premières applications du modèle fractal en sciences appliquées ont été proposées par B. Mandelbrot (IBM, New York), et en France par A. Le Méhauté (Laboratoires de Marcoussis). Le modèle présentant des invariances d'échelles différentes selon les axes de coordonnées (affinité interne) nous paraît être le mieux adapté à toute étude mathématique des interfaces à l'échelle microscopique.

Abstract

In microtechniques it is necessary to introduce parameters in order to measure the "order of complexity" of a rough surface. Statistical methods are too heavy to handle in this context. A spectrum analysis gives only approximative informations. Using mathematical models such as Weierstrass curves, Brownian notion, we show the interest of the fractal dimension, a very simple geometric parameters for the surface. First applications of the fractal model in applied sciences have been proposed by B. Mandelbrot (IBM, New York) and in France by A. Le Méhauté (Laboratoires de Marcoussis). The self-affine model, showing a scale invariance with respect to the coordinate axes, seems to be the most efficient for any mathematical investigation of the interface microscopic structure.