Fast calculation of the first and second derivatives of the conformational energy of oligomeric proteins with respect to a set of variables mixing dihedral angles and rigid-body variables

Unité de bioinformatique, bât des biotechnologies, Inra, 78352 Jouy-en-Josas cedex France.

Abstract

Monomeric proteins are often assembled into quaternary structures (oligomeric proteins) showing symmetry properties, the best example being certainly the virus capsids. In order to describe such systems we developed a model using internal variables (dihedral angles) for the polypeptide chain and external variables (rigid body variables) to express the position of each monomer relative to the others. The study, by computer simulations, of the properties of these systems often necessitate the calculation of the first and/or second derivatives of the system conformational energy with respect to these variables. Here we present a method to efficiently calculate these first (gradient) and second derivatives (hessian matrix). It is shown that elements of the gradient and hessian matrix can be calculated recursively. The amount of calculation to be performed is thus strongly reduced and the algorithm is much more efficient, in terms of computer time, than a straightforward method.

Résumé

Les protéines monomériques s'assemblent souvent pour former des structures dotées de propriétés de symétrie, appelées structures quaternaires (protéines oligomériques), un des exemples les plus caractéristiques étant constitué par les protéines des capsides de virus. Pour décrire de tels systèmes nous avons développé un modèle qui utilise un jeu de variables internes (les angles de torsion) pour la chaîne polypeptidique et des variables externes (variables de corps rigide) pour exprimer la position relative de chaque monomère par rapport aux autres. L'étude, par simulations sur ordinateur, des propriétés de ces systèmes nécessite souvent le calcul des dérivées premières et/ou secondes de l'énergie conformationnelle du système par rapport à ces variables. Dans cet article nous présentons une méthode pour calculer efficacement ces dérivées (gradient et matrice hessienne). Les éléments du gradient et de la matrice hessienne peuvent être calculés d'une manière récursive. Cela réduit considérablement le nombre d'opérations à effectuer permettant ainsi à l'algorithme d'être plus efficace qu'une méthode directe.