From symmetry to syntopy : a fuzzy-set approach to quasi-symmetric systems^*

¹ Laboratoire de Chimie Physique, Université Paris-VI and CNRS, 11, rue Pierre-et-Marie-Curie, 75005 Paris, France.
² Department of Chemistry and Department of Mathematics, University of Saskatchewan, Saskatoon, S7N 0W0 Canada, Canada.

Abstract

Point symmetry is essentially a discrete concept, whereas molecular structures and their conformational changes display continuous features. Using the formalism of fuzzy-set theory, we propose a continuous extension of the symmetry concept for quasi-symmetric systems. For each point k of the reduced nuclear configuration space M of all N-atom systems having a specified stoichiometry, and for an energy criterion ε suggested by the statics or the dynamics of these systems, we define membership functions µ_i(k, ε) which generate 'syntopy' fuzzy subsets S_i, in the metric space M ; these latter are used to obtain a continuous extension s(k, ε) of the symmetry point groups g_i. Illustrations of the procedures used are given on simple examples, and applications of the new concept are outlined.

Résumé

La symétrie ponctuelle est essentiellement un concept discret, alors que les structures moléculaires et leurs changements de conformations présentent des caractères continus. Utilisant le fonnalisme de la théorie des ensembles flous, nous proposons une extension continue du concept de symétrie pour des systèmes quasi-symétriques. Pour chaque point k de l'espace de configuration nucléaire réduit M de tous les systèmes N-atomiques ayant une stoechiométric définie, et pour un critère énergétique ε suggéré par la statique ou la dynamique de ces systèmes, nous définissons des fonctions d'appartenance µ_i(k, ε) qui engendrent des sous-ensembles flous S_i, dits de 'syntopie', dans l'espace métrique M ; ceux-ci sont utilisés pour réaliser une extension continue s(k, ε) des groupes de symétrie ponctuels g_i. Les procédures employées sont illustrées sur des exemples simples, et les applications du nouveau concept sont évoquées.