Analyse en ondelettes de croissances fractales electrochimiques

Centre de Recherche Paul Pascal, Château Brivazac, 33600 Pessac, France.

Résumé

Nous présentons la transformation en ondelettes comme une technique adaptée à l’analyse de la complexité géométrique d’agrégats fractals issus de simulations numériques et d’expériences de laboratoire. Nous illustrons l'aptitude de ce véritable microscope mathématique à révéler la règle de construction de flocons de neige globalement auto-similaires. Nous montrons son aptitude à caractériser les propriétés d’invariance d’échelle locale d’agrégats multifractals via la mesure de la dimension ponctuelle α([math]). Nous analysons en ondelettes des agrégats modèles engendrés numériquement à l’aide du modèle d’agrégation limitée par la diffusion (DLA) introduit par Witten et Sander. Nous apportons la preuve que les agrégats DLA de petite masse (M < 5 10⁴ particules) sont des fractales auto-similaires caractérisées par un exposant d’échelle local unique: α([math]) = 1.60 ± 0.02. Nous reproduisons cette analyse sur des agrégats obtenus par électrodéposition de cuivre dans la double limite de faible concentration ionique et de faible courant. En révélant l’autosimilarité globale des amas d’électrodéposition avec un exposant d’échelle local unique α([math]) = 1.63 ± 0.03, notre étude expérimentale apporte la démonstration quantitative que le mécanisme de croissance par électrodéposition est dans certaines conditions équivalent à un processus d’agrégation limitée par la diffusion. Pour conclure, nous invoquons l’existence d’une structure récursive chaotique sousjacente à la nature fractale de ces agrégats, fruit d’une évolution spatio-temporelle chaotique mettant en jeu un faible nombre de degrés de Liberté.

Abstract

We present the wavelet transform as a natural tool for characterizing the geometrical complexity of numerical and experimental two-dimensional fractal aggregates. We illustrate the efficiency of this mathematical microscope to reveal the construction rule of globally self-similar snowflake fractals and to capture the local scaling properties of multifractal aggregates through the determination of local pointwise dimensions α([math]). We wavelet transform small-mass (M< 5 10₄ particles) Witten and Sander diffusion-limited aggregates (DLA) which are found to be self-similar with a unique scaling exponent α([math]) = 1.60 ± 0.02. We reproduce this analysis for experimental copper electrodeposition clusters. In the limit of small ionic concentration and small current, these clusters are globally self-similar with a unique scaling exponent α([math]) = 1.63 ± 0.03. These results strongly suggest that the electrodeposition